[알고리즘] 실수란?

수학에서, 실수(real number)는 주로 실직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계입니다. 예를 들어, -1, 0, 1/2, , π 등은 모두 실수입니다.

실수에 대하여 사칙 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)을 실행할 수 있습니다. 실수는 크기 비교가 가능하며, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 수보다 작습니다. 특히, 실수는 0보다 큰 양수, 0보다 작은 음수, 0으로 분류됩니다. 또한, 실수는 정수의 비인 유리수와 그렇지 않은 무리수로도 분류되며, 정수 계수 다항식의 근인 대수적 수와 그렇지 않은 초월수로도 분류됩니다. 실직선은 복소 평면의 일부로 볼 수 있으며, 이 경우 실수는 허수와 함께 복소수를 이룹니다.

공리적으로, 실수는 완비 순서체로 정의되며, 이는 동형 의미 아래 유일합니다. 구성적으로, 실수는 유리수 코시 수열의 동치류, 데데킨트 절단, 십진법 전개의 동치류로서 구성됩니다. 실수의 완비성은 공집합이 아닌 실수 유계 집합이 항상 상한과 하한을 갖는다는 성질입니다. 이는 유리수와 구별되는 중요한 성질입니다.

실수 집합은 비가산 집합입니다. 즉, 자연수 집합과 실수 집합은 둘다 무한 집합이나, 그 사이에 일대일 대응이 존재하지 않습니다. 실수 집합의 크기는 자연수 집합의 크기보다 큽니다. 연속체 가설은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수 부분 집합이 존재하지 않는다는 명제입니다.