[수학] 인수분해 정리

수학1 공부를 다시하고 있습니다. 기본 개념 정리부터 다시 파고 있는데요. 그동안 공식만 외워서 수학을 했었다는것이 굉장히 후회 스럽습니다. 개념을 다시 파다보니 저는 그동안 공부를 했던게 아니라는 걸 절실히 느꼈습니다. 암기형 학습이였던건데, 그런 학습에는 한계가 있기 마련입니다. 서술 관련 강의를 수강하고 있는데, 수1범위에서 개념 정리하 필요한 부분을 여기 포스팅에 찬찬히 정리해 나가겠습니다.

인수분해

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대수론과 대수학에서, 인수 분해는 곱이 정의된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킵니다. 특히, 정수집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것을 소인수 분해라고 부릅니다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 됩니다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말합니다. 즉, 전개의 역입니다. 이러한 관계를 표현한 것은 곱셈공식입니다.

예를 들어  의 경우, 로 만드는 것을 말합니다.

이와 반대로 을 로 만드는 것은 전개라고 합니다.

인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있습니다.

예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것입니다.

그리고 다항식의 경우는, 변수  에 대하여 가 근삿값일 때,

근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 방정식 등을 풀기 위해 사용합니다.

정수 집합에서는 산술의 기본 정리, 다항식의 집합에서는 대수학의 기본 정리와 관련이 있습니다. 그러나 모든 환에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아닙니다. 유일한 인수분해가 성립하는 가환환을 유일 인수분해 정역이라고 합니다.

큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업입니다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, RSA 암호 알고리즘은 이를 근거로 작동하게 됩니다.

다항식의 인수분해

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다항식의 계수(coefficient)의 집합을 어느 범위로 한정하느냐에 따라 소인수분해의 결과가 달라질 수 있습니다. 예를 들어, 계수를 유리수로 한정할 경우 과 는 모두 인수분해 되지 않으므로 기약다항식(Irreducible polynominal)이 됩니다.

그러나 실수로 확장하면 는 로 인수분해 되고, 는 여전히 기약다항식이 됩니다.

계수를 복소수로 더 확장하면 비로소 는 로 인수분해됩니다. 계수에 복소수를 허용하면 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 모든 복소계수 다항식이 일차식으로 항상 인수분해 가능합니다.

이차식

이차식 가 주어져 있을 때, 이 이차식의 값을 영으로 만드는 두 원소 가 있다면 다음과 같이 인수분해가 됩니다.

또한 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 다음과 같이 계수로 표현이 가능합니다.

$$
{\displaystyle \alpha ,\beta }

고차식

삼차, 사차식의 경우에는 근의 공식을 이용할 수도 있습니다. 그러나 계산과정이 길고 손으로 직접하기에는 어려움이 따릅니다. 특별한 고차식에 적용할 수 있는 다양한 곱셈 공식들이 있는데, 이러한 몇몇 공식들은 중고교 교과과정에서 자주 등장합니다. 

와 같은 공식들이 있습니다. 이와 같은 공식들이 적용되지 않는다면 적당히 추측하는 방법을 동원하여 조립제법을 쓰는 경우도 있습니다.

만일 의 꼴인 경우 로 치환해 합차공식을 적용시킬 수도 있습니다.

잘 알려진 인수 분해 공식

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2차식

3차식

4차식